Что происходит, когда кто-то заходит в группу с проверкой на входе?

Всё зависит от того, закрытая у тебя группа или открытая, и решает это сам Telegram. В закрытой группе, куда просятся по заявке, бот присылает вопрос заявителю в личный чат и одобряет его только после верного ответа.

В открытой группе зайти может кто угодно, поэтому бот пропускает человека и сразу мьютит его, пока тот не ответит; если бота он никогда не запускал, то увидит сообщение, видимое только ему, с кнопкой, которая откроет личный чат.

В обоих случаях новичок получает простой арифметический вопрос с шестью вариантами и двумя попытками. Верный ответ сразу пускает его внутрь или снимает мут. После двух неверных ответов заявка отклоняется, а в открытой группе человек остаётся в муте, пока администратор не снимет ограничение в Telegram. Если он вообще не отвечает, его удаляют из группы через 60 секунд.

Это удаление не бан: человек может вернуться и попробовать ещё раз, так что живой игрок, который просто не заметил сообщение, не остаётся заперт снаружи. Верный ответ даёт новичку ограниченный набор прав: писать, отправлять медиа и ставить реакции. Управление группой он при этом не получает, поэтому пройденная арифметика никогда не позволит приглашать людей, закреплять сообщения или переименовывать группу.