При подключении Google пишет «Google hasn't verified this app». Это безопасно?

Да, продолжать безопасно. Пока Google ещё проверяет доступ Playbox к YouTube и Google Календарю, на его экране входа может появиться «Google hasn’t verified this app». Нажми Advanced («Дополнительные настройки»), затем «Go to play-box.xyz» («Перейти на сайт play-box.xyz») и разреши доступ. Это предупреждение — часть процесса проверки Google, а не проблема с твоим аккаунтом, и оно пропадёт, когда проверка закончится.

Playbox просит только то, что нужно для каждого подключения: для YouTube это управление стримами на выбранном тобой канале; для Google Календаря это создание и изменение записей в твоих календарях, только для твоих игр. Забрать доступ можно в любое время: нажми Отключить в Настройки → Подключенные приложения или удали Playbox на myaccount.google.com/permissions. Если удалить Playbox в своём аккаунте Google, для этого аккаунта Google остановятся и стримы на твой канал, и синхронизация календаря, пока ты не подключишься снова.